Question

张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．

【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；

【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=2dm，AD=3dm，BD=dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

Answer 1

       解：【问题情境】证明：（方法1）连接AP，如图②

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP，

∴AB•CF=AB•PD+AC•PE．

∵AB=AC，

∴CF=PD+PE．

（方法2）过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②．

∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，

∴∠CFD=∠FDG=∠FGP=90°．

∴四边形PDFG是矩形．

∴DP=FG，∠DPG=90°．

∴∠CGP=90°．

∵PE⊥AC，

∴∠CEP=90°．

∴∠PGC=∠CEP．

∵∠BDP=∠DPG=90°．

∴PG∥AB．

∴∠GPC=∠B．

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

∴∠GPC=∠ECP．

在△PGC和△CEP中，

∴△PGC≌△CEP．

∴CG=PE．

∴CF=CG+FG

=PE+PD．

【变式探究】

证明：（方法1）连接AP，如图③．

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S_△ABC=S_△ABP﹣S_△ACP，

∴AB•CF=AB•PD﹣AC•PE．

∵AB=AC，

∴CF=PD﹣PE．

（方法2）过点C作CG⊥DP，垂足为G，如图③．

∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，

∴∠CFD=∠FDG=∠DGC=90°．

∴四边形CFDG是矩形．

∴CF=GD，∠DGC=90°．

∴∠CGP=90°．

∵PE⊥AC，

∴∠CEP=90°．

∴∠CGP=∠CEP．

∵CG⊥DP，AB⊥PD，

∴∠CGP=∠BDP=90°．

∴CG∥AB．

∴∠GCP=∠B．

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

∵∠ACB=∠PCE，

∴∠GCP=∠ECP．

在△CGP和△CEP中，

∴△CGP≌△CEP．

∴PG=PE．

∴CF=DG=DP﹣PG

=DP﹣PE．

【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．

∵AD=8，CF=3，

∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．

由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．

∴DF=5．

∵∠C=90°，

∴DC=

=

=4．

∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，

∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．

∴四边形EQCD是矩形．

∴EQ=DC=4．

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB．

∵∠BEF=∠DEF，

∴∠BEF=∠EFB．

∴BE=BF．

由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．

∴PG+PH=4．

∴PG+PH的值为4．

【迁移拓展】延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图⑤．

∵AD•CE=DE•BC，

∴=．

∵ED⊥AD，EC⊥CB，

∴∠ADE=∠BCE=90°．

∴△ADE∽△BCE．

∴∠A=∠CBE．

∴FA=FB．

由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH．

设DH=xdm，

则AH=AD+DH=（3+x）dm．

∵BH⊥AF，

∴∠BHA=90°．

∴BH²=BD²﹣DH²=AB²﹣AH²．

∵AB=2，AD=3，BD=，

∴（）²﹣x²=（2）²﹣（3+x）²．

解得：x=1．

∴BH²=BD²﹣DH²

=37﹣1=36．

∴BH=6．

∴ED+EC=6．

∵∠ADE=∠BCE=90°，

且M、N分别为AE、BE的中点，

∴DM=EM=AE，CN=EN=BE．

∴△DEM与△CEN的周长之和

=DE+DM+EM+CN+EN+EC

=DE+AE+BE+EC

=DE+AB+EC

=DE+EC+AB

=6+2．

∴△DEM与△CEN的周长之和为（6+2）dm．