Question

如图，⊙C经过原点且与两坐标分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，6），点M是圆上弧BO的中点，且∠BMO=120°．
①求弧BO的度数；
②求⊙C的半径；
③求过点B、M、O的二次函数解析式．

Answer 1

分析：（1）由于∠AOB=90°，那么应连接AB，得到AB是直径．由∠BMO=120°可得到∠BAO=60°即可得出答案；
（2）易得OA=6，利用60°的三角函数，即可求得AB，进而求得半径．
（3）利用勾股定理可得OB长，再求出点M的坐标即可求出二次函数解析式．

解答：解：（1）连接AB，AM，则由∠AOB=90°，故AB是直径，
由∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°-120°=60°，
得∠BAO=60°，∴弧BO的度数为120°；

（2）又AO=6，故cos∠BAO=

AO

AB

，AB=

6

cos60°

=12，
从而⊙C的半径为6．

（3）由（1）得，BO=

122-62

=6

3

，
过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
则EC=OF=

1

2

BO=

1

2

×6

3

=3

3

，CF=OE=

1

2

OA=3．
故C点坐标为（-3

3

，3）．点B（-6

3

，0），点M（-3

3

，-3），
设过点B、M、O的二次函数解析式为：y=ax²+bx，把点B（-6

3

，0），点M（-3

3

，-3）代入，
解得：a=

1

9

，b=

2 3

3

，
故二次函数解析式为：y=

1

9

x²+

2 3

3

x．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式及垂径定理与圆周角定理，难度较大，关键是掌握本题用到的知识点：90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．连接90°所对的弦，做弦心距是常用的辅助线方法．