Question

如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于A、B两点，点A的坐标是（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°，求⊙C的半径和圆心C的坐标．

Answer 1

分析：（1）由于∠AOB=90°，那么应连接AB，得到AB是直径．由∠BMO=120°可得到∠BAO=60°，易得OA=4，利用60°的三角函数，即可求得AB，进而求得半径．
（2）利用勾股定理可得OB长，作出OB的弦心距，利用勾股定理可得到C的横坐标的绝对值，同法可得到点C的横坐标．

解答：解：（1）连接AB，AM，则由∠AOB=90°，故AB是直径，
由∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°-120°=60°，
得∠BAO=60°，
又AO=4，故cos∠BAO=

AO

AB

，AB=

4

cos60°

=8，
从而⊙C的半径为4．

（2）由（1）得，BO=

82-42

=4

3

，
过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
则EC=OF=

1

2

BO=

1

2

×4

3

=2

3

，CF=OE=

1

2

OA=2．
故C点坐标为（-2

3

，2）．

点评：本题用到的知识点为：90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．连接90°所对的弦，做弦心距是常用的辅助线方法．