题目内容
已知抛物线y=-
x2+bx+c的对称轴为直线x=1，最大值为3，此抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
（3）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（D不与Q重合）．另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．
| 1 | 4 |
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
（3）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（D不与Q重合）．另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．
分析：（1）由抛物线的对称轴方程可求出b的值，由抛物线的最小值可求出c的值，进而求出抛物线的解析式；
（2）把x=0代入抛物线求出y的值确定点A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长．
（3）①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式．
②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标．
（2）把x=0代入抛物线求出y的值确定点A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长．
（3）①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式．
②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=-
x2+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴2b=1，
∴b=
，
又∵抛物线最大值为3，
∴3=-
×1+
×1+c，
∴c=
，
∴抛物线解析式为：y=-
x2+
x+
；
（2）把x=0代入抛物线得：y=
，
∴点A（0，
），
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴OC=1；
（3）①如图：∵此抛物线与y轴交于点A，顶点为B
∴B（1，3）
分别过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于点N，
∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
∴DMQN是矩形．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE，∠CDM=∠EDN
∴△CDM≌△EDN
∴DM=DN，
∴DMQN是正方形，
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q（4，0）
设BQ的解析式为：y=kx+b，
把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=-1，b=4．
所以直线BQ的解析式为：y=-x+4；
②当点P在对称轴右侧，如图：
过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于N，
∵∠CDE=90°，
∴∠CDM=∠EDN，
∴△CDM∽△EDN，
当∠DCE=30°，
=
=
，
又DN=MQ，
∴
=
，
∴
=
，BC=3，CQ=
，
∴Q（1+
，0），
∴P1（1+
，
），
当∠DCE=60°，点P2（1+3
，-
）．
当点P在对称轴的左边时，由对称性知：
P3（1-
，
），P4（1-3
，-
）
综上所述：P1（1+
，
），P2（1+3
，-
），P3（1-
，
），P4（1-3
，-
）．
| 1 |
| 4 |
∴2b=1，
∴b=
| 1 |
| 2 |
又∵抛物线最大值为3，
∴3=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴c=
| 11 |
| 4 |
∴抛物线解析式为：y=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 11 |
| 4 |
（2）把x=0代入抛物线得：y=
| 11 |
| 4 |
∴点A（0，
| 11 |
| 4 |
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴OC=1；
（3）①如图：∵此抛物线与y轴交于点A，顶点为B
∴B（1，3）
分别过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于点N，
∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
∴DMQN是矩形．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE，∠CDM=∠EDN
∴△CDM≌△EDN
∴DM=DN，
∴DMQN是正方形，
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q（4，0）
设BQ的解析式为：y=kx+b，
把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=-1，b=4．
所以直线BQ的解析式为：y=-x+4；
②当点P在对称轴右侧，如图：
过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于N，
∵∠CDE=90°，
∴∠CDM=∠EDN，
∴△CDM∽△EDN，
当∠DCE=30°，
| DC |
| DE |
| DM |
| DN |
| 3 |
又DN=MQ，
∴
| DM |
| MQ |
| 3 |
∴
| BC |
| CQ |
| 3 |
| 3 |
∴Q（1+
| 3 |
∴P1（1+
| 3 |
| 9 |
| 4 |
当∠DCE=60°，点P2（1+3
| 3 |
| 15 |
| 4 |
当点P在对称轴的左边时，由对称性知：
P3（1-
| 3 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 15 |
| 4 |
综上所述：P1（1+
| 3 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 15 |
| 4 |
| 3 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 15 |
| 4 |
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用抛物线与y轴的交点及对称轴求出点A的坐标和OC的长．（2）①利用三角形全等确定点Q的坐标，求出BQ的解析式．②根据三角形相似求出点Q的坐标，然后确定点P的坐标．
练习册系列答案
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，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒、
