Question

3．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过C作CE∥AD，交△ABC外角∠MAC的平分线于点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形．

Answer 1

分析 （1）首先利用外角性质得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定四边形ADCE是矩形；
（2）能使得矩形的临边AD和DC相等的条件均可．

解答 解：（1）∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AE平分∠MAC，
∴∠MAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠MAC，
又∵∠BAC+∠MAC=180°，
∴∠CAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠MAC=90°，
即∠EAD=90°，
∴∠ADC+∠EAD=180°，
∴AE∥DC，
∵四边形ADCE中，AE∥DC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；

（2）答案不唯一，如当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形；

点评 本题的考点：外角的性质，等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】），平行四边形和矩形的判定和性质．