Question

【题目】如图平面直角坐标系中，点，在轴上，，点在轴上方，，，线段交轴于点，，连接，平分，过点作交于．

（1）点的坐标为 ．

（2）将沿线段向右平移得，当点与重合时停止运动，记与的重叠部分面积为，点为线段上一动点，当时，求的最小值；

（3）当移动到点与重合时，将绕点旋转一周，旋转过程中，直线分别与直线、直线交于点、点，作点关于直线的对称点，连接、、．当为直角三角形时，直接写出线段的长．

Answer 1

【答案】（1）C（3，3）；（2）最小值为2+2；（3）D0H的值为2-2或2+2或4-4或4+4．

【解析】

（1）想办法求出A，D，B的坐标，求出直线AC，BC的解析式，构建方程组即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交O′D′于G，交A′D′于F．作PH⊥OB于H．利用三角形的面积公式求出点D坐标，再证明PH=PB，把问题转化为垂线段最短即可解决问题．
（3）在旋转过程中，符号条件的△GD0H有8种情形，分别画出图形一一求解即可．

（1）如图1中，

在Rt△AOD中，∵∠AOD=90°，∠OAD=30°，OD=2，
∴OA=OD=6，∠ADO=60°，
∴∠ODC=120°，
∵BD平分∠ODC，
∴∠ODB=∠ODC=60°，
∴∠DBO=∠DAO=30°，
∴DA=DB=4，OA=OB=6，
∴A（-6，0），D（0，2），B（6，0），
∴直线AC的解析式为y=x+2，
∵AC⊥BC，
∴直线BC的解析式为y=-x+6，
由 ，解得，
∴C（3，3）．
（2）如图2中，设BD交O′D′于G，交A′D′于F．作PH⊥OB于H．

∵∠FD′G=∠D′GF=60°，
∴△D′FG是等边三角形，
∵S△D′FG= ，
∴D′G= ，
∴DD′=GD′=2，
∴D′（2，2），
∵C（3，3），
∴CD′==2，
在Rt△PHB中，∵∠PHB=90°，∠PBH=30°，
∴PH=PB，
∴CD'+D'P+PB=2+D′P+PH≤2+D′O′=2+2，
∴CD'+D'P+PB的最小值为2+2．
（3）如图3-1中，当D0H⊥GH时，连接ED0．

∵ED=ED0，EG=EG．DG=D0G，
∴△EDG≌△ED0G（SSS），
∴∠EDG=∠ED0G=30°，∠DEG=∠D0EG，
∵∠DEB=120°，∠A′EO′=60°，
∴∠DEG+∠BEO′=60°，
∵∠D0EG+∠D0EO′=60°，
∴∠D0EO′=∠BEO′，
∵ED0=EB，E=EH，
∴△EO′D0≌△EO′B（SAS），
∴∠ED0H=∠EBH=30°，HD0=HB，
∴∠CD0H=60°，
∵∠D0HG=90°，
∴∠D0GH=30°，设HD0=BH=x，则DG=GD0=2x，GH=x，
∵DB=4，
∴2x+x+x=4，
∴x=2-2．
如图3-2中，当∠D0GH=90°时，同法可证∠D0HG=30°，易证四边形DED0H是等腰梯形，

∵DE=ED0=DH=4，可得D0H=4+2×4×cos30°=4+4．
如图3-3中，当D0H⊥GH时，同法可证：∠D0GH=30°，

在△EHD0中，由∠D0HE=45°，∠HD0E=30°，ED0=4，可得D0H=4× ，
如图3-4中，当DG⊥GH时，同法可得∠D0HG=30°，

设DG=GD0=x，则HD0=BH=2x，GH=x，
∴3x+x=4，
∴x=2-2，
∴D0H=2x=4-4．
如图3-5中，当D0H⊥GH时，同法可得D0H=2-2．

如图3-6中，当DGG⊥GH时，同法可得D0H=4+4．

如图3-7中，如图当D0H⊥HG时，同法可得D0H=2+2．

如图3-8中，当D0G⊥GH时，同法可得HD0=4-4．

综上所述，满足条件的D0H的值为2-2或2+2或4-4或4+4．