Question

【题目】如图，抛物线经过，两点，与轴正半轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）为线段上一点，过作轴的垂线，交抛物线于点，将线段，绕点逆时针旋转任意相同的角到，的位置，使点，的对应点，都在轴下方，与交于点，与轴交于点．当时，求点的坐标；

（3）在抛物线上，在坐标平面内，当以，，，为顶点的四边形为矩形时，直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式是y=－x2+3x+4；（2）D点坐标为为（2，0），（3）点N的坐标（6，2）或（－6，－2）或或．

【解析】

（1）把点和点坐标代入抛物线解析式解出和即可；

（2）旋转性质可证△EDP∽△GDQ，从而可得，继而可得ED=2DC，设D点坐标为（x，0），可得方程，解之即可；

（3）按ABM三点构成直角位置分三种情况讨论，画出图形，利用三角形相似和坐标系中两点距离列方程求解出M点坐标，再按平移规律可得N点坐标．

（1）解：∵抛物线y=－x2+bx+c经过A（0，4），C（－1，0）两点，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式是y=－x2+3x+4；

（2）∵∠EDF=∠CDG，

∴∠EDF－∠PDF=∠CDG－∠PDF，

∴∠EDP＝∠GDQ，

又DE=DF，DC=DG，

∴，

∴△EDP∽△GDQ，

∴，

∴ED=2DC，

设D点坐标为（x，0）

∴解得x1=－1，x2=2

∴D点坐标为为（2，0）

（3）点N的坐标是（6，2）或（－6，－2）或或．

∵B点是抛物线y=－x2+3x+4的交点，

∴B点坐标为（4，0），

∴OB=4，

I.当 时，如解图（1），过M点作MH⊥y轴，易证，

∴，

∴AH=HM，

设HM=x，则M点坐标为,

又∵点M在抛物线y=－x2+3x+4，

∴，

解得或，

∴M点坐标为，

∵四边形ABNM是矩形，根据点平移规律可知N点坐标为，

II.当 时，如解图（2），同理可求N点坐标为，

III.当时，以AB为直径作圆，交抛物线与M、，如解图（3），

设M点坐标为（x，y），

∵圆心点P坐标为（2，2），

∴MP

即：，

又∵点M在抛物线y=－x2+3x+4，

∴

解得：，，

即M点为，，

∵由点的平移规律可知，N点坐标为：或．

综上所述：点N的坐标（6，2）或（－6，－2）或或．