Question

已知关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0．
（1）试说明：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,三角形三边关系,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）利用根的判别式得出△=（4k+1）²-4k（3k+3）=4k²-4k+1=（2k-1）²≥0，进一步利用非负数的性质解决问题；
（2）分AB=AC和BC的长为5为腰两种情况，探讨得出答案即可．

解答：解：（1）△=（4k+1）²-4k（3k+3）
=16k²+1+8k-12k²-12k
=4k²-4k+1
=（2k-1）²≥0，
所以无论k取何值，方程总有两个实数根
（2）若AB=AC，
则方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0有两个相等的实数根，
此时△=0，即：（2k-1）²=0，
解得：k=

1

2

；
当k=

1

2

时，AB=AC=3，此时AB、AC、BC满足三边关系．
若BC=5为△ABC的一腰，则方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0有一根是5，
将x=5代入方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0解得：k=

1

4

当k=

1

4

时，解得方程两根为5和3，此时AB、AC、BC满足三边关系．
综上：当△ABC是等腰三角形时，k的值为

1

2

或

1

4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．