Question

如图，已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于B．
（1）当MN绕点B旋转到图①位置时，求证：BD+AB=

2

CB；
（2）当MN绕点A旋转到图②位置时，BD、AB、CB满足怎样关系式，请直接写答案不必证明；
（3）当MN绕点A旋转到图③位置时，BD、AB、CB之间又存在怎样关系式，请证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，根据四边形ACDB内角和为360°得到∠EAC=∠BDC，再求出△ECB为等腰直角三角形，进而得到BD+AB=

2

CB；
（2）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=

2

CB，根据BE=AB-AE即可证得；
（3）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．

解答：解：（1）如图①，过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°，
∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，
∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，
在△ACE和△DCB中，

∠EAC=∠BDC AC=DC ∠BCD=∠ACE

，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB．
又∵BE=AE+AB，
∴BE=BD+AB，
∴BD+AB=

2

CB．
（2）如图②：AB-BD=

2

CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
在△ACE和△DCB中，

∠BCD=∠ACE AC=DC ∠CAE=∠D

，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=

2

CB．
如图③BD-AB=

2

CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
在△ACE和△DCB中，

∠BCD=∠ACE AC=DC ∠CAE=∠D

，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=

2

CB．

（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，
∴综合了第一个图和第二个图两种情况，
若是第1个图：易证△ACE≌△DCB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBD，
过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．
BD=

2

BH，
∴BH=DH=1．
直角△CDH中，∠DCH=30°，
∴CD=2DH=2，CH=

3

．
∴CB=

3

+1
若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H．
解法类似上面，CD=2，但是CB=

3

-1．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．