Question

3．矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，点P是CD的延长线连接PM延长交AC于点Q，连接PN，QN．
求证：∠QNM=∠PNM．

Answer 1

分析 先延长QN，交DC的延长线于点E，根据矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，得出MN||PE，再根据平行线分线段成比例定理，得出ON：CE=QO：QC=OM：CP，再根据全等三角形的性质，得出MO=NO，及CP=CE，最后根据∠QNM=∠QEC，∠PNM=∠NPC，∠NPC=∠NEC，运用等量代换可以得出结论．

解答 证明：延长QN，交DC的延长线于点E，
∵矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，
∴DM=CN，DM∥CN，
∴平行四边形CDMN中，MN||PE，
∴∠QNM=∠QEC，∠PNM=∠NPC，且ON：CE=QO：QC=OM：CP，
又∵∠AOM=∠CON，∠OAM=∠OCN，AM=CN，
∴△AOM≌△CON，
∴MO=NO，
∴CP=CE，
∴NC垂直平分PE，
∴NP=NE，
∴∠NPC=∠NEC，
∴∠QNM=∠PNM．

点评 本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角．解题时注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．