Question

11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）在直线AC的同侧，以点O为位似中心，作出△CON的位似三角形，并使△CON与和它位似的三角形的位似比是1：2．（写出结果，不写作法，保留作图痕迹）．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，OB=OD，则利用DM∥BC可判断△MND∽△CNB，所以MD：BC=DN：BN=1：2，设OB=OD=x，则BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，于是得到x+1=2（x-1），解得x=3，所以BD=2x=6；
（2）如图，在OD上截取NG=ON，延长OC到H，使HC=OC，则△HOG满足条件．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴DM∥BC，
∴△MND∽△CNB，
∴MD：BC=DN：BN，
∵M为AD中点，
∴MD：BC=1：2，
∴DN：BN=1：2，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），解得x=3，
∴BD=2x=6；
（2）如图，△HOG为所作．

点评 本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；再根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平行四边形的性质．