Question

抛物线y=-x²-mx+m+2与x轴有两个交点A、B，顶点C，求△ABC面积的最小值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：先把解析式配成顶点式得到顶点C的坐标为（-

m

2

，

m2+4m+8

4

），再利用抛物线与x轴两交点之间的距离公式计算出AB=

m2+4m+8

，接着根据三角形面积公式得到△ABC的面积=

1

2

•

m2+4m+8

•

m2+4m+8

4

，变形得到△ABC的面积=

1

8

•

(m2+4m+8)3

，然后利用非负数的性质求△ABC面积的最小值．

解答：解：∵y=-x²-mx+m+2=-（x+

m

2

）²+

m2+4m+8

4

，
∴顶点C的坐标为（-

m

2

，

m2+4m+8

4

），
∵AB=

(-m)2-4×(-1)×(m+2)

|-1|

=

m2+4m+8

，
∴△ABC的面积=

1

2

•

m2+4m+8

•

m2+4m+8

4

=

1

8

•

(m2+4m+8)3

=

1

8

[(m+2)2+4]3

，
∵（m+2）²≥0，
∴当m=-2时，△ABC的面积最小，最小值为

1

8

•

64

=1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．