Question

抛物线y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

（其中n是正整数）与x轴交于A_n、B_n两点，若以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁=

 

；A₁B₁+A₂B₂=

 

；A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃+…+A_nB_n=

 

．（用含n的代数式表示）

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：规律型

分析：先化简抛物线y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

，然后求出一元二次方程的根，根据两点间的坐标差求出距离，找出规律解答即可．

解答：解：y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）
故抛物线与x轴交点坐标为（

1

n

，0）和（

1

n+1

，0）
由题意，AnBn=

1

n

-

1

n+1

．
所以 A₁B₁=1-

1

2

=

1

2

，
A₁B₁+A₂B₂=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）=

1

2

+

1

6

=

2

3

A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃+…+A_nB_n═（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案是：

1

2

；

2

3

；

n

n+1

．

点评：本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题；求两点间的距离时，要利用两点间的坐标差来解答．