Question

10．如图，已知⊙O₁与⊙O₂相离，OP和OQ是它们的两条外公切线，线段O₁O₂的垂直平分线交射线OP于A，过点A分别作⊙O₁、⊙O₂的切线，分别交射线OQ于B、C两点，求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 连结O₁于A，O₂A，延长AO₂与OC交于D，根据切线的性质得到⊙O₁为△AOB的内切圆，根据内切圆的性质得到∠ABC=∠AOB+∠OAB=2∠AOO₁+2∠OAO₁=2∠AO₁O₂，∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠PAO₂+∠ADC=∠POD+2∠ADC=2∠O₂OD+2∠ADC=2∠AO₂O₁，根据垂直平分线的性质得到AO₁=∠AO₂，可得∠AO₁O₂=∠AO₂O₁，可得∠ABC=∠ACB，进一步得到AB=AC．

解答 解：连结O₁于A，O₂A，延长AO₂与OC交于D，
∵OA，OB，AB分别与⊙O₁相切，
∴⊙O₁为△AOB的内切圆，
∴∠ABC=∠AOB+∠OAB=2∠AOO₁+2∠OAO₁=2∠AO₁O₂，
∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠PAO₂+∠ADC=∠POD+2∠ADC=2∠O₂OD+2∠ADC=2∠AO₂O₁，
又∵线段O₁O₂的垂直平分线交射线OP于A，
∴AO₁=∠AO₂，
∴∠AO₁O₂=∠AO₂O₁，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

点评 考查了圆与圆的位置关系，线段垂直平分线的性质，切线的性质，等腰三角形的判定，关键是证明∠AO₁O₂=∠AO₂O₁．