Question

【题目】定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．

（1）判断函数y＝2x+4m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的“合作点”；如果不是，请说明理由；

（2）判断函数y＝2x+4m与y＝x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出“合作点”；如果不是，请说明理由；

（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一“合作点”．

①求出m的取值范围；

②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．

Answer 1

【答案】（1）是，x＝﹣3或x＝1；（2）不是，见解析；（3）①﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②m＝2﹣或m＝3．

【解析】

（1）由于与都经过第一、第三象限，所以两个函数有公共点，可以判断两个函数是“合作函数”，再联立，解得或，即可求“合作点”；

（2）假设是“合作函数”，可求“合作点”为，再由，可得当时，是“合作函数”；当或时，不是“合作函数”；

（3）①由已知可得：，解得或，再由已知可得当时，，当时，，因为只有一个“合作点”则或；②，由①可分两种情况求的值：当时，时，在的有最大值为，当时，时，在的有最大值为，分别求出符合条件的值即可．

解：（1）是经过第一、第三象限的直线，是经过第一、第三象限的双曲线，

两函数有公共点，

存在取同一个值，使得，

函数与是“合作函数”；

当时，，

，解得或，

“合作点”为或；

（2）假设函数与是“合作函数”，

，

，

，

，

，

当时，函数与是“合作函数”；当或时，函数与不是“合作函数”；

（3）①函数与是“合作函数”，

，

，

或，

时有唯一合作点，

当时，，

当时，，

或时，满足题意；

②，

对称轴为，

或，

当时，时，在的有最大值为，

，

或，

；

当时，时，在的有最大值为，

，

或，

；

综上所述：或．