Question

关于x的方程（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0，且k≤3．求证：方程总有实数根．

Answer 1

考点：根的判别式,一元一次方程的解

专题：证明题

分析：分类讨论：当k-2=0，即k=2，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k-2≠0，即k≠2，计算判别式得到△=[2（k-1）]²-4（k-2）（k+1）≥0得到△≥0，则根据判别式的意义得到方程有两个实数根，然后可判断k≤3，方程总有实数根．

解答：证明：当k-2=0，即k=2，方程变形为-2x+3=0，解得x=

3

2

；
当k-2≠0，即k≠2，
△=[2（k-1）]²-4（k-2）（k+1）=-4k+12≥0，
解得k≤3．
所以方程有两个实数根，
所以不论k取何值，方程总有实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．