Question

如图等腰梯形ABCD是⊙O的内接四边形，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求证：BC是直径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）要证明BC是直径，就要证明∠BAC=90°，利用内接梯形的性质和已知条件即可得出．
（2）阴影部分的面积等于三角形的面积+弓形的面积，根据面积公式计算即可．

解答：（1）证明：∵等腰梯形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°．
∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-120°=60°．（1分）
∴∠DCB=∠ABC=60°．（2分）
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB=30°．（3分）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=90°．（4分）
∴BC是直径．（5分）

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=30°．
∴∠DAC=∠DCA．
∴AD=DC．（6分）
设CD=x，得AB=AD=DC=x，
∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴BC=2x．
∵四边形ABCD的周长为15，
∴x=3．（8分）
∴BC=6，AO=DO=3．
连接AO、DO，
∠AOD=2∠ACD=60°，（9分）
∵△ADO和△ADC同底等高，
∴S_△ADO=S_△ADC（10分）
∴图中阴影部分的面积=扇形AOD的面积=

60

360

×π×32=

3

2

π．（11分）
（注：如果学生有不同的解题方法，只要正确，可参考评分标准，酌情给分．）

点评：本题主要考查了直径所对的圆周角是90的知识和扇形的面积公式．