Question

【题目】在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转到，连接．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接并延长，分别交、于点、．

①求证：；②若的最小值为，直接写出菱形的面积为　　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②

【解析】

（1）由菱形的性质得出BC=DC，∠BCD=120°，由旋转的性质得PC=QC，∠PCQ=120°，得出∠BCP=∠DCQ，由SAS得出△BCP≌△DCQ即可；

（2）①由全等三角形的性质得出BP=DQ，得出∠QDC=∠PBC=∠PBM=30°，在CD上取点E，使QE=QN，则∠QEN=∠QNE，得出∠QED=∠QNC=∠PMB，证明△PBM≌△QDE（AAS），即可得出结论；

②由①知PM=QN，得出MN=PQ=PC，当PC⊥BD时，此时MN最小，则PC=2，BC=2PC=4，菱形ABCD的面积=2△ABC的面积，即可得出答案.

证明：（1）四边形是菱形，

，，

，，

由旋转的性质得：，，

，

，

在和中，，

；

（2）①证明：由（1）得：，

，

．

在上取点，使，如图2所示：

则，

，

在和中，，

，

．

②解：由①知，

，

当时，最小，此时最小，

则，，

菱形的面积．

故答案为：．