Question

如图已知△ABC中，AB=AC，∠ABD=60°，且∠ADB=90°-∠BDC，求证：AB=BD+DC．

Answer 1

证明：延长BD至E，使DE=DC，连接CE，AE，
∴∠DCE=∠DEC=∠BDC，
∴∠ADE=360°-∠ADB-∠BDC-∠CDE=360°-（90°-∠BDC）-∠BDC-（180°-∠BDC）
=90°+∠BDC，
∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°-∠BDC+∠BDC，
∴∠ADE=∠ADC，
∵AD=AD，
∴△ADC≌△ADE，
∴AC=AE=AB，
由于∠ABD=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=BD+DE=BD+CD，
即：AB=BD+DC．
分析：延长BD至E，使DC=EC，连接CE，AE，得出∠DCE=∠DEC=∠BDC，由∠ADE=360°-∠ADB-∠BDC-∠CDE，证出∠ADE=∠ADC，推出△ADC≌△ADE，得到AC=AE=AB，根据等边三角形的判定和性质推出AB=BE，即可推出答案．
点评：本题主要考查对等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并利用性质进行推理是解此题的关键．