Question

如图已知△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，∠C=30°，DE垂直平分BC，AB=4cm，那么△CDE的周长是

4

3

+4

 cm．

Answer 1

分析：在△ABC中利用三角形内角和以及角平分线的定义推知∠ABD=30°；然后利用Rt△ABD的边角关系求得BD、AD的长度；最后利用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质知AD=DE、BE=CE，从而求得△CDE的周长．

解答：解：∵在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，∠C=30°，
∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°，
∴在Rt△ABC中，BC=2AB=8cm；
在Rt△ABD中，AD=AB•tan30°=

4 3

3

cm，BD=

8 3

3

cm，
又∵DE垂直平分BC，
∴AD=DE=

4 3

3

cm，BE=CE=

1

2

BC=4cm，CD=BD，
∴CD+CE+DE=

8 3

3

+4+

4 3

3

=4

3

+4（cm），即△CDE的周长是4

3

+4（cm），
故答案是：4

3

+4．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及含30度角的直角三角形．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．