Question

如图：B、C是x轴上两点，以BC为直径的圆交y轴的正半轴于点A，点B、C的坐标分别是（-12，0），（4，0）
（1）求点A的坐标．
（2）一动点P以每秒1个单位长度的速度从点C开始沿CB运动到B停止．过点P作PD⊥AC于D，设点P的运动时间为t．求t为何值时，△PAD与△ABC相似？
（3）在x轴上是否存在点M使△ABM是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）取线段BC的中点E，连接AE．在直角△AEO中，根据勾股定理即可求得线段OA的长度；
（2）需要分类讨论：①△PAD∽△BCA；②△PAD∽△CBA；
（3）需要分类讨论：①以AB为底的等腰三角形；②以AM为底的等腰三角形．
解答：解：（1）如图1，取线段BC的中点E，连接AE．
∵点B、C的坐标分别是（-12，0），（4，0），
∴BC=16．
又∵BC是直径，
∴点E是圆心，且BE=CE=AE=8，OE=4．
∴在Rt△AEO中，根据勾股定理知OA===4，
∴点A的坐标是（0，4）；

（2）易求AB=8，AC=8．
∵BC是直径，
∴BA⊥AC．
又∵PD⊥AC，
∴PD∥AB，
∴=，即=，则PD=．
=，则=，即=，则AD=8-．
∵∠PDA=∠BAC=90°，
∴△PAD与△ABC相似分两种情况：
①当①△PAD∽△BCA时，=，即=，
解得，t=24+8（不合题意，舍去），或t=24-8；
②当△PAD∽△CBA时，=，即=，
解得，t=40+8（不合题意，舍去），或t=40-8．
综上所述，t=24-8或t=40-8．

（3）如图3，当AB=BM时，点M的坐标是M₁（8-12，0）、
M₃（-8-12，0）；
当AB=BM时，点M的坐标是M₂（-4，0）；
综上所述，符合条件的点M的坐标是M₁（8-12，0）、M₃（-8-12，0）、M₂（-4，0）．
点评：本题考查了圆的综合题．其中涉及到的知识点有圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线截线段成比例等知识点．解题时，注意分类讨论，以防漏解．