Question

如图：B、C是x轴上两点，以BC为直径的圆交y轴的正半轴于点A，点B、C的坐标分别是（-12，0），（4，0）
（1）求点A的坐标．
（2）一动点P以每秒1个单位长度的速度从点C开始沿CB运动到B停止．过点P作PD⊥AC于D，设点P的运动时间为t．求t为何值时，△PAD与△ABC相似？
（3）在x轴上是否存在点M使△ABM是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）取线段BC的中点E，连接AE．在直角△AEO中，根据勾股定理即可求得线段OA的长度；
（2）需要分类讨论：①△PAD∽△BCA；②△PAD∽△CBA；
（3）需要分类讨论：①以AB为底的等腰三角形；②以AM为底的等腰三角形．

解答：解：（1）如图1，取线段BC的中点E，连接AE．
∵点B、C的坐标分别是（-12，0），（4，0），
∴BC=16．
又∵BC是直径，
∴点E是圆心，且BE=CE=AE=8，OE=4．
∴在Rt△AEO中，根据勾股定理知OA=

AE2-OE2

=

82-42

=4

3

，
∴点A的坐标是（0，4

3

）；

（2）易求AB=8

3

，AC=8．
∵BC是直径，
∴BA⊥AC．
又∵PD⊥AC，
∴PD∥AB，
∴

PD

AB

=

CP

BC

，即

PD

8 3

=

t

16-t

，则PD=

8 3 t

16-t

．

CD

AC

=

CP

CB

，则

AD

AC

=

BP

BC

，即

AD

8

=

16-t

16

，则AD=8-

t

2

．
∵∠PDA=∠BAC=90°，
∴△PAD与△ABC相似分两种情况：
①当①△PAD∽△BCA时，

PD

BA

=

AD

CA

，即

8 3 t 16-t

8 3

=

8- t 2

8

，
解得，t=24+8

5

（不合题意，舍去），或t=24-8

5

；
②当△PAD∽△CBA时，

PD

CA

=

AD

BA

，即

8 3 t 16-t

8

=

8- t 2

8 3

，
解得，t=40+8

21

（不合题意，舍去），或t=40-8

21

．
综上所述，t=24-8

5

或t=40-8

21

．

（3）如图3，当AB=BM时，点M的坐标是M₁（8

3

-12，0）、
M₃（-8

3

-12，0）；
当AB=BM时，点M的坐标是M₂（-4，0）；
综上所述，符合条件的点M的坐标是M₁（8

3

-12，0）、M₃（-8

3

-12，0）、M₂（-4，0）．

点评：本题考查了圆的综合题．其中涉及到的知识点有圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线截线段成比例等知识点．解题时，注意分类讨论，以防漏解．