Question

如图，已知sin∠ABC=，⊙O的半径为2，圆心O在射线BC上，⊙O与射线BA相交于E、F两点，EF=．
（1）求BO的长；
（2）点P在射线BC上，以点P为圆心作圆，使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切，求所有满足条件的⊙P的半径．

Answer 1

解：（1）连接EO，过点O作OH⊥BA于点H．
∵EF=，∴EH=．
∵⊙O的半径为2，即EO=2，
∴OH=1．在Rt△BOH中，
∵sin∠ABC=，
∴BO=3．

（2）当⊙P与直线相切时，过点P的半径垂直此直线．
（a）当⊙P与⊙O外切时，
①⊙P与⊙O切于点D时，⊙P与射线BA相切，
sin∠ABC=，得到：；
②⊙P与⊙O切于点G时，⊙P与射线BA相切，
sin∠ABC==，得到：．
（b）当⊙P与⊙O内切时，
①⊙P与⊙O切于点D时，⊙P与射线BA相切，
sin∠ABC=，得到：；
②⊙P与⊙O切于点G时，⊙P与射线BA相切，
sin∠ABC=，得到：．
综上所述：满足条件的⊙P的半径为、、、
分析：（1）连接EO，过点O作OH⊥BA于点H．利用垂径定理构造直角三角形求得OH，然后利用告诉的∠B的正弦值求得OB；
（2）⊙P同时与⊙O和射线BA相切应分两种情况分类讨论：①当⊙P与⊙O外切；②当⊙P与⊙O内切．
点评：本题综合考查了直线与圆相切和两圆相切的知识，对学生建立系统的与圆相切有关的知识体系有很好的促进作用．