Question

如图，已知sin∠ABC=

1

3

，⊙O的半径为2，圆心O在射线BC上，⊙O与射线BA相交于E、F两点，EF=2

3

．
（1）求BO的长；
（2）点P在射线BC上，以点P为圆心作圆，使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切，求所有满足条件的⊙P的半径．

Answer 1

分析：（1）连接EO，过点O作OH⊥BA于点H．利用垂径定理构造直角三角形求得OH，然后利用告诉的∠B的正弦值求得OB；
（2）⊙P同时与⊙O和射线BA相切应分两种情况分类讨论：①当⊙P与⊙O外切；②当⊙P与⊙O内切．

解答：解：（1）连接EO，过点O作OH⊥BA于点H．
∵EF=2

3

，∴EH=

3

．
∵⊙O的半径为2，即EO=2，
∴OH=1．在Rt△BOH中，
∵sin∠ABC=

1

3

，
∴BO=3．

（2）当⊙P与直线相切时，过点P的半径垂直此直线．
（a）当⊙P与⊙O外切时，
①⊙P与⊙O切于点D时，⊙P与射线BA相切，
sin∠ABC=

rP

1-rP

=

1

3

，得到：rP=

1

4

；
②⊙P与⊙O切于点G时，⊙P与射线BA相切，
sin∠ABC=

rp

5+rp

=

1

3

，得到：rP=

5

2

．
（b）当⊙P与⊙O内切时，
①⊙P与⊙O切于点D时，⊙P与射线BA相切，
sin∠ABC=

rP

1+rP

=

1

3

，得到：rP=

1

2

；
②⊙P与⊙O切于点G时，⊙P与射线BA相切，
sin∠ABC=

rP

5-rP

=

1

3

，得到：rP=

5

4

．
综上所述：满足条件的⊙P的半径为

1

4

、

5

2

、

1

2

、

5

4

点评：本题综合考查了直线与圆相切和两圆相切的知识，对学生建立系统的与圆相切有关的知识体系有很好的促进作用．