Question

如图，在正方形ABCD中，OE=OF．求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）如图，证明△AOE≌△BOF，得到AE=BF，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明∠AEO=∠AFG．证明∠GAF+∠AFG=90°，即可解决问题．

解答：证明：（1）如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOF；
在△AOE与△BOF中，

AO=OB ∠AOE=∠BOF OE=OF

，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF．
（2）如图，延长AE交BF于点G；
∵△AOE≌△BOF，
∴∠AEO=∠OFG，即∠AEO=∠AFG．
∵AO⊥EO，
∴∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴AE⊥BF．

点评：该题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是抓住图形中隐含的数量关系，数形结合，灵活运用正方形的性质、全等三角形的判定等来分析、判断、解答．