Question

5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，点P在线段OC上，且PO、PC的长（P0＜PC）是x²-12x+27=0的两根．
（1）求P点坐标；
（2）若∠ACB的平分线交x轴于点D，求直线CD的解析式；
（3）若M是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由PO、PC的长（P0＜PC）是x²-12x+27=0的两根，解方程可得出PO=3，结合点P在线段OC上可得出P点的坐标；
（2）由（1）可得出OC的长，结合tan∠ABC=$\frac{3}{4}$在直角三角形COB中可求出OB的长度，由∠CAB与∠ABC互余可得出cot∠BAC=tan∠ABC，在直角三角形AOC中可求出AO的长度，从而得出B、A点的坐标，结合C点的坐标可找出直线AC、BC的解析式，由CD平分∠ACB可得出点D到直线AC的距离等于点D到直线BC的距离，设出D点坐标，由点到直线的距离即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出D点坐标，结合C点坐标即可得出直线CD的解析式；
（3）结合∠ACB=90°可知点Q在直线BC上，由CD平分∠ACB，可得出以A、C、M、Q为顶点的四边形是正方形，设出Q点坐标，由CQ=AC即可得出结论．

解答 解：（1）∵PO、PC的长（P0＜PC）是x²-12x+27=0的两根，
∴PO=3，PC=9．
又∵点P在线段OC上，
∴点P的坐标为（0，-3）．
（2）∵PO=3，PC=9，
∴OC=OP+PC=12，
∴点C的坐标为（0，-12）
在Rt△COB中，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，OC=12，
∴OB=$\frac{OC}{tan∠ABC}$=16，
∴点B的坐标为（0，16）．
∵△ABC为直角三角形，
∴cot∠BAC=tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，
在Rt△AOC中，cot∠OAC=$\frac{3}{4}$，OC=12，
∴OA=OC•cot∠OAC=9，
∴点A的坐标为（-9，0）．
∴直线BC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-12，即$\frac{3}{4}$x-y-12=0；
直线AC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-12，即$\frac{4}{3}$x+y+12=0．
设点D的坐标为（m，0）．
∵点D为∠ACB的平分线上的点，
∴有$\frac{|\frac{3}{4}m-12|}{\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{|\frac{4}{3}m+12|}{\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+{1}^{2}}}$，
解得：m=$\frac{12}{7}$，
故点D的坐标为（$\frac{12}{7}$，0），
直线CD的解析式为y=7x-12．
（3）假设存在，画出图形如下．

∵以A、C、M、Q为顶点的四边形是矩形，
∴点Q在直线BC上，
∵CD为∠ACD的角平分线，
∴∠ACM=45°，
∴AM=AC=CQ=MQ．
设点Q的坐标为（x，$\frac{3}{4}$x-12）．
∵AC=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，CQ=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{3}{4}x-12+12）^{2}}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{3}{4}x-12+12）^{2}}$=15，
解得：x=12，或x=-12（舍去），
即点Q的坐标为（12，-3）．
故在平面内存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标为（12，-3）．

点评 本题考查了解一元二次方程、利用三角函数值解直角三角形、点到直线的距离以及正方形的判定及性质，解题的关键：（1）解一元二次方程；（2）利用点到直线的距离找出关于m的一元一次方程；（3）正方形的判定及性质．本题属于中档题，难度不大，（1）难度很小；（2）借助了角平分线的性质与点到直线的距离公式列出方程；（3）结合图形与已知找出以A、C、M、Q为顶点的四边形是正方形．