题目内容
【题目】已知点
，抛物线
与
轴从左到右的交点为
，
．
（1）若抛物线
经过点，求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当
时，求
的值；
（3）直线
经过点
，与
轴交于点
，
①求点的坐标；
②若线段
与抛物线有唯一公共点，直接写出正整数的值．
【答案】（1）
，
；（2）
或
；（3）①
，②
和
【解析】
（1）由抛物线
经过
，把点M代入即可求出
，抛物线
的解析式即求出；把抛物线解析式化为顶点式，即可得顶点点坐标；
（2）方法一：利用抛物与
轴的交点坐标关于对称轴对称的特点求解，设
，则
，
，由抛物线对称轴为直线：
，①当
，则
可得
，求出
，此时
代入抛物线可求出
；②当
，则
，此时可出
，此时
代入抛物线解析式得
；综上所述即为的值；
方法二：利用物线与轴有两个交点，用判别式得出的取值范围
，令
，用求根公式表示出方程的解，当
时，可得两个解的关系
，解之，即可得的值；
（3）①把代入直线
，即可得b的值，写出直线解析式，令
，即可求与
轴交于点的纵坐标，即求得
点坐标；
②由线段
与抛物线有唯一公共点，联立直线和抛物线的方程，可解得此时符合题意的
；当抛物线经过点M时,解得c=2 ,此时抛物线与线段MN有2个公共点，与题意不符；当抛物线往下平移到经过点N时，解得c=-1 ,此时抛物线与线段MN只有交点N，当-1≤c<2时,抛物线与线段MN只有-个公共点，而此时满足条件的正整数c的值为1，综上所述，即可得符合条件的的值．
解：（1）
抛物线经过，
，
解得：．
，
，
顶点为
，
（2）方法一：
设，则，，
①若，则，
抛物线对称轴为直线：，点
、
关于对称轴对称，
，即
，
解得：，
代入抛物线解析式得：
，
解得：；
②若，则，
，
解得：，
代入抛物线解析式得：
，
解得：；
综上所述的值为或．
方法二：
（2）抛物线与轴有两个交点，
，
解得，
令，
解得
，
点
，
点
，
当时，
，
或
，解得或．
（3）①直线经过点，
，
解得：
，
直线解析式为
，
当时，
，
点坐标为
．
②满足条件的正整数的值为和；
理由如下：
当线段与抛物线只有一个公共点时，
，
∴
，
△
，
所以，
此时方程的解为
，
∴此时交点在线段上，满足题意段与抛物线有唯一公共点；
当抛物线经过点M时,解得c=2 ,此时抛物线与线段MN有2个公共点，与题意不符；
当抛物线往下平移到经过点N时，解得c=-1 ,此时抛物线与线段MN只有交点N，
∴当-1≤c<2时,抛物线与线段MN只有-个公共点
∴此时满足条件的正整数c的值为1；
综上所述，满足条件的正整数c的值为1或3．
