Question

5．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED=3，cosF=$\frac{4}{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD=90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE，所以∠BCE=∠CBE，所以OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线；
（2）CE=BE=DE=3，在Rt△BFE中，利用cosF=$\frac{BF}{EF}$=$\frac{4}{5}$，得出tanF=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{3}{4}$，可计算出BF=4，再利用勾股定理可计算出EF=5，所以CF=CE+EF=8，然后在Rt△OCF中，利用正切定义可计算出OC．

解答 （1）证明：连CB、OC，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∵E为BD的中点，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠CBE，
而∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：CE=BE=DE=3，
在Rt△BFE中，cosF=$\frac{4}{5}$，tanF=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴BF=4，
∴EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{E}^{2}}$=5，
∴CF=CE+EF=8，
在Rt△OCF中，tanF=$\frac{OC}{CF}$=$\frac{3}{4}$，
∴OC=6，
即⊙O的半径为6．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、圆周角定理．