Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）判断ABC的形状，并说明理由；

（2）如图1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交x轴于点E．当PBC面积的最大值时，点F为线段BC一点（不与点、重合），连接EF，动点G从点E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿FC以每秒个单位的速度运动到点C后停止，当点F的坐标是多少时，点G在整个运动过程中用时最少？

（3）如图2，将ACO沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的ACO为A1C1O1，连接A A1,直线A A1交抛物线与点M，设平移的时间为t秒，当A MC1为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）△ABC为直角三角形，理由见解析；（2）；（3）当△AMC1为等腰三角形时，则t的值t=或或或.

【解析】（1）结论：△ABC是直角三角形．在Rt△AOC中，由tan∠ACO=，推出∠ACO=30°，在Rt△OBC中，由tan∠BCO=，推出∠BCO=60°，可得∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°；

（2）设P（m，m2-m-），作射线CN，使得∠BCN=60°，作FH⊥CN于H，FG⊥AE于G，则FH=CFcos30°=CF，首先求出点P坐标，动点G的运动时间=CF=EF+FH，根据垂线段最短可知，当EH⊥CN时，动点G的运动时间最小，由此即可解决问题；

（3）求出直线AM的解析式，利用方程组求出点M坐标，由题意C′（t，t-），分三种情形讨论，想办法列出方程即可解决问题；

（1）结论：△ABC是直角三角形．

理由：如图1中，连接AC．

∵抛物线y=x2-x-与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，

∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-），

在Rt△AOC中，∵tan∠ACO=，

∴∠ACO=30°，

在Rt△OBC中，∵tan∠BCO=，

∴∠BCO=60°，

∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°，

∴△ABC是直角三角形．

（2）设P（m，m2-m-），作射线CN，使得∠BCN=60°，作FH⊥CN于H，FG⊥AE于G，则FH=CFcos30°=CF．

则S△PBC=S△POC+S△POB-S△BOC

=××m+×3×（-m2+m+）-××3

=-（m-）2+ ，

∵-＜0，

∴m=时，△PBC的面积最大，此时P（，-），

∵动点G的运动时间=CF=EF+FH，

根据垂线段最短可知，当EH⊥CN时，动点G的运动时间最小，

∵∠EFB=∠EBF=30°，

∴EF=EB=，

在Rt△EFG中，FG=EFcos30°=，EG=，OG=，

∴此时F的坐标为（，-）．

（3）由题意直线BC的解析式为y=x-，直线AC的解析式为y=x+，

由 ，

解得，或

∴M（4，），

∵C1（t，t-），

∴AM2=52+（）2，C1A2=（t+1）2+（t-）2，MC1=（4-t）2+（-t+）2，

①当AM=MC1时，52+（）2=（4-t）2+（-t+）2，解得t=5+或5-，

②当C1A=C1M时，（t+1）2+（t-）2=（4-t）2+（-t+）2，解得t=

③当C1A=AM时，52+（）2=（t+1）2+（t-）2，解得t=s或-（舍弃），

综上所述，满足条件的t的值为（5+）s或（5-）s或s或s．