Question

【题目】综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且与直线相交于点，动点在轴上运动．

（1）求直线的函数表达式；

（2）求使的周长最小时点的坐标；

（3）在轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P；（3）满足条件的点，

【解析】

（1）设直线的函数表达式为，将，代入连立方程组求解即可；

（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，即的周长最小，设直线的函数表达式为，代入C点坐标求得函数关系式，令，即可得到P点坐标.

（3）设CP的函数关系式为y=mx+n，当CP垂直AB时，∠PCA=90°，求得m的值，将m和C点坐标代入即可求得CP的函数关系式，即可求得P点坐标，当∠PAB=90°同理也可求解.

解：（1）设直线的函数表达式为，

，在直线上，

，

解，得．

直线的函数表达式为．

（2）如图，作点关于轴的对称点，

连接交轴于点，此时最小，即的周长最小；

设直线的函数表达式为，

，

，

解得

直线的函数表达式为

令，得，

（3）设CP的函数关系式为y=mx+n

当CP垂直AB时，∠PCA=90°，

kab×m=-1，

∴m=，

将m=，代入y=mx+n可得

n=-1,

∴CP：

当x=0时，y=-1，

即P1的坐标为，

设CA的函数关系式为y=cx+d，

当CA垂直AB时，∠PAB=90°，

kab×c=-1，

∴c=，

将c=，代入y=cx+d可得

d=,

∴CA：

当x=0时，y=-1，

即P2的坐标为，

∴满足条件的点，