Question

14．例：解方程x⁴-7x²+12=0
解：设x²=y，则x⁴=y²，∴原方程可化为：y²-7y+12=0，解得y₁=3，y₂=4，
当y=3时，x²=3，x=±$\sqrt{3}$，当y=4时，x²=4，x=±2．
∴原方程有四个根是：x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，x₃=2，x₄=-2．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x²+x-2）（x²+x-3）=2；
（2）已知a、b、c是Rt△ABC的三边（c为斜边），S_△ABC=6，且a、b满足（a²+b²）²-21（a²+b²）-100=0，试求Rt△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）设x²+x-3=y，则x²+x-2=y+1，由此可得出y²+y-2=0，解之即可得出y的值，再将y值代入x²+x-3=y中求出x值即可；
（2）设a²+b²=x，则x²-21x-100=0，解之可求出x的值，再根据a、b、c是Rt△ABC的三边（c为斜边），结合勾股定理以及S_△ABC=6，即可得出a+b与c的值，将其相加即可得出结论．

解答 解：（1）设x²+x-3=y，则x²+x-2=y+1，
∴原方程可化为：（y+1）•y=2，即y²+y-2=0，
解得y₁=-2，y₂=1．
当y=-2时，x²+x-3=-2，即x²+x-1=0，
解得：x₁=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
当y=1时，x²+x-3=1，即x²+x-4=0，
解得：x₃=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，x₄=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．
∴原方程有四个根是：x₁=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，x₃=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，x₄=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．
（2）设a²+b²=x，
∴原方程可化为：x²-21x-100=0，解得：x₁=25，x₂=-4．
∵a、b、c是Rt△ABC的三边（c为斜边），S_△ABC=6，
∴a、b、c均为正数，
∴c²=a²+b²=25，ab=12，
∴a+b=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}$=7，c=5，
∴Rt△ABC的周长为a+b+c=7+5=12．

点评 本题换元法解一元二次方程以及勾股定理，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．