Question

6．如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）①将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
②若AB=2$\sqrt{5}$，CE=2，在图②的基础上将△CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．

Answer 1

分析 （1）如图①中，结论：AF=$\sqrt{2}$AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可；
（2）①如图②中，结论：AF=$\sqrt{2}$AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可；
②分两种情形a、如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形．b、如图④中当AD=AC时，四边形ABFD是菱形．分别求解即可；

解答 解：（1）如图①中，结论：AF=$\sqrt{2}$AE．

理由：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AE．
故答案为AF=$\sqrt{2}$AE．

（2）①如图②中，结论：AF=$\sqrt{2}$AE．

理由：连接EF，DF交BC于K．
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴∠EKF=180°-∠DKE=135°，EK=ED，
∵∠ADE=180°-∠EDC=180°-45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EK=ED}\\{∠EKF=∠ADE}\\{KF=AD}\end{array}\right.$，
∴△EKF≌△EDA，
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AE．
②如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知EH=DH=CH=$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AE=AH+EH=4$\sqrt{2}$，

如图④中当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，易知AE=AH-EH=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
综上所述，满足条件的AE的长为4$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．