Question

9．如图，在平面直角坐标中，Rt△AOB的顶点O是坐标原点，OB边在x轴的正半轴上，∠ABO=90°，且点A在第一象限内，双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）经过AO的中点，若S_△AOB=4，则双曲线y=$\frac{k}{x}$的k值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 设OA与双曲线相交于C，如图，过C作CD⊥OB于D，得到CD∥AB，证得△OCD∽△OAB，根据相似三角形的性质即可得到结果．

解答 解：设OA与双曲线相交于C，如图，过C作CD⊥OB于D，
∵∠ABO=90°，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴$\frac{{S}_{△OCD}}{{S}_{△OAB}}$=${（\frac{OC}{OA}）}^{2}$，
∵OC=AC，
∴$\frac{{S}_{△OCD}}{{S}_{△OAB}}$=${（\frac{OC}{OA}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△OCD=1，
∴k=2，
故选A．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．