Question

14．如图，MN为⊙O直径，A、B是⊙O上，过A作AC⊥MN于C点，过B作BD⊥MN于D点，MN=20，AC=8，BD=6，若点P在直径MN上，则PA+PB最小值是14$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先由MN=20求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．

解答 解：∵MN=20，
∴⊙O的半径=10，
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，
∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8；
同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8，
∴OC=$\sqrt{O{A}^{2}-A{C}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CD=8+6=14，
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，
在Rt△AB′E中，
∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，
∴AB′=$\sqrt{A{E}^{2}+B'{E}^{2}}=\sqrt{1{4}^{2}+1{4}^{2}}=14\sqrt{2}$．
故答案为：$14\sqrt{2}$

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．