题目内容
已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10
（1）如图①，△ABC的面积=
；
（2）如图②，P是底边BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接AP，不难发现：△ABP的面积+△ACP的面积=△ABC的面积，据此式，你能求出PE+PF等于多少吗？你有什么发现？
（3）如图③四边形BCGH是形状、大小一定的等腰梯形，点P是下底BC上一动点，试问：点P到两腰的距离之和是否为一定值？简述理由．
（1）如图①，△ABC的面积=
60
60
，腰AC上的高BD=| 120 |
| 13 |
| 120 |
| 13 |
（2）如图②，P是底边BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接AP，不难发现：△ABP的面积+△ACP的面积=△ABC的面积，据此式，你能求出PE+PF等于多少吗？你有什么发现？
（3）如图③四边形BCGH是形状、大小一定的等腰梯形，点P是下底BC上一动点，试问：点P到两腰的距离之和是否为一定值？简述理由．
分析：（1）首先过点A作AE⊥BC于点E，由等腰三角形的性质，即可求得高AE的长，继而求得三角形的面积，则可求得高BD的长；
（2）由△ABP的面积+△ACP的面积=△ABC的面积，即可得PE+PF=BD，可得规律：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
（3）分别延长BH、CG，交点为A，由等腰梯形得：等腰△ABC，由上题可知：PE+PF等于点B到直线CG的距离．
（2）由△ABP的面积+△ACP的面积=△ABC的面积，即可得PE+PF=BD，可得规律：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
（3）分别延长BH、CG，交点为A，由等腰梯形得：等腰△ABC，由上题可知：PE+PF等于点B到直线CG的距离．
解答：解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∵等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，
∴BE=
BC=5，
∴AE=
=12，
∴S△ABC=
BC•AE=60，
∵S△ABC=
AC•BD，
∴BD=
=
；
故答案为：60，
；
（2）连接AP，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴
AB•PE+
AC•PF=60，
∵AB=AC=13，
∴PE+PF=
；
结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
（3）点P到两腰的距离之和为一定值．
理由：分别延长BH、CG，交点为A，过点B作BD⊥CG于点D，
∵梯形BCGH是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵S△ABC=
AC•BD，S△ABC=S△PAB+S△PAC=
AB•PE+
AC•PF=
AC•（PE+PF），
∴PE+PF=BD．
即PE+PF等于点B到直线CG的距离．
∵等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，
∴BE=
| 1 |
| 2 |
∴AE=
| AB2-BE2 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
∴BD=
| 2S△ABC |
| AC |
| 120 |
| 13 |
故答案为：60，
| 120 |
| 13 |
（2）连接AP，∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵AB=AC=13，
∴PE+PF=
| 120 |
| 13 |
结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
（3）点P到两腰的距离之和为一定值．
理由：分别延长BH、CG，交点为A，过点B作BD⊥CG于点D，
∵梯形BCGH是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴PE+PF=BD．
即PE+PF等于点B到直线CG的距离．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与整体思想的应用．
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