Question

3．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB向点B运动，连接DP，把∠A沿DP折叠，使点A落在点A′处．求出当△BPA′为直角三角形时，AP=3或6cm．

Answer 1

分析 分三种情况进行讨论，当A′、P、B分别为直角顶点时，求出AP的长即可．

解答 解：（1）当∠B A′P=90°时，由折叠得，∠PA′D=∠A=90°，
∴∠BA′D=∠B A′P+∠P A′D=180°，
∴点B、A′、D在一直线上，
设AP=x cm，
∴A′P=x，BP=8-x，A′B=10-6=4，
在Rt△A′PB中，
x²+4²=（8-x）²，
解之得：x=3，
即AP=3cm；
（2）当∠A′P B=90°时，
∴∠A′P A=90°，
又∵∠DA′P=∠A=90°，
∴四边形APA′D是矩形，
根据折叠的性质，A′P=AP，
∴四边形APA′D是正方形，
∴AP=AD=6cm；
（3）当∠A′B P=90°时，不存在．
综上所述，当△BPA′为直角三角形时，AP=3或6cm．
故答案为3或6．

点评 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题需要分类讨论，避免漏解．