Question

4．已知一次函数y=x-2与二次函数y=x²+kx+k
（1）若两个函数图象交点的横坐标的平方和等于9，求二次函数解析式．
（2）若二次函数图象与x轴的两个交点位于一次函数图象与x轴交点的两侧，求k的取值范围．
（3）k能否取值，使y轴右侧的抛物线总在直线的下方？若能够，求出k的取值范围；若不能，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）先将函数问题转化出一元二次方程问题，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系即可；
（2）先确定出直线和x轴的交点坐标，由题意直接得出，当x=2时，函数值小于0，即可求出k的范围；
（3）先由抛物线的a值是1是一个定值，并且大于1，得出抛物线开口向上，即有抛物线向上无限延伸，即可得出结论．

解答 解：（1）∵一次函数y=x-2①与二次函数y=x²+kx+k②，
∴联立①②得，x²+（k-1）x+k+2=0，
∴x₁+x₂=1-k，x₁x₂=k+2，
∵两个函数图象交点的横坐标的平方和等于9
∴△=（k-1）²-4（k+2）＞0，
∴k＞7或k＜-1，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（1-k）²-2（k+2）=9，
∴k=6（舍）或k=-2，
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-2，
（2）∵一次函数y=x-2，
∴直线和x轴的交点坐标为（2，0）
由（1）知，二次函数的解析式为y=x²-2x-2，
∴抛物线开口向上，
∵二次函数图象与x轴的两个交点位于一次函数图象与x轴交点的两侧
∴当x=2时，二次函数值2²+2k+k＜0，
∴k＜-$\frac{4}{3}$；
（3）不存在，
理由：∵抛物线解析式为y=x²+kx+k，
∴a=1＞0，
∴抛物线开口方向向上，
即：抛物线两头向上无限延伸，
∴抛物线要么全部在某直线上方，要么被直线分成两部分，不可能总在直线下方．
故不存在实数k，使抛物线在y轴右侧的部分总在直线y=x-2的下方．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了函数转化成一元二次方程的方法，一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，解本题的关键是将函数问题转化成一元二次方程的问题．