Question

11．如图，四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，以AB为直径的⊙O交CD于E、F，交BC于G，AD=2，BC=3，CD=7，求DE的长．

Answer 1

分析 首先连接AG，利用矩形的判定与性质，勾股定理求得直径AB，作OH⊥EF于点G，连接OE，利用垂径定理，梯形的中位线定理，勾股定理分别求得OH、HD、HE，进一步求得DE的长即可．

解答 解：如图，连接AG，OE，作OH⊥EF于点G，

∵AB为直径，
∴∠AGB=90°，
∵∠C=∠D=90°，
∴四边形ADCG是矩形，
∴CG=AD=2，AG=CD=7，
∴BG=BC-CG=1，
∴AB=$\sqrt{B{G}^{2}+A{G}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵OH⊥EF，O是AB的中点，
∴OH=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=$\frac{5}{2}$，DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{7}{2}$，
∴EH=$\sqrt{O{E}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴DE=DH-EH=1．

点评 此题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，梯形的中位线的实际运用，正确作出辅助线是解决问题的关键．