题目内容
【题目】如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数
（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=
OB=3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤
的解集；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由
【答案】（1）
；（2）-3≤x＜0；（3）存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）
【解析】
（1）根据平行线分线段成比例性质可得
，求出A（3，0），B（0，4），C（-3，8），再用待定系数法求解；（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围：0＜-
x+4≤-
；（3）△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC两种情况.
解：（1）∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴，
∴CD=2OB=8，
∵OA=OD=
OB=3，
∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8），
把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得
，解得
，
∴一次函数解析式为
，
∵反比例函数y=
的图象经过点C，
∴k=-24，
∴反比例函数的解析式为y=-
（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，
即线段BC（包含C点，不包含B点）所对应的自变量x的取值范围，
∵C（-3，8），
∴0＜-x+4≤-的解集为-3≤x＜0
（3）∵B（0，4），C（-3，8），
∴BC=5，
∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，
∴有BC=BP或BC=PC两种情况，
①当BC=BP时，即BP=5，
∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1，
∴P点坐标为（0，9）或（0，-1）；
②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，
∴线段BP的中点坐标为（0，8），
∴P点坐标为（0，12）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）
