Question

在△ABC中，tan∠C=，AD⊥BC于D，过AC边中点E作EF⊥AB于F，EF交AD于G．
（1）求证：DG-AG=BD；
（2）在（1）的条件下，延长FE交BC延长线于K，若BD=8，CK=10，求FG的长度．

Answer 1

（1）证明：过点E作EH∥DC交AD于H，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥EH，
∴∠EHG=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFG=90°，
∴∠AFG=∠EHG=90°，
∵∠AGF=∠EGH，
∴∠FAG=∠HEG，
∵∠ADB=∠EGG=90°，
∴△ABD∽△EGH，
∴=，
∵EH：BD=AE：AC=1：2，
∴AH=DH=AD，EH=CD，
设AD=4x，
∵tan∠C==，
∴CD=3x，
∴AH=DH=2x，EH=x，
∴GH：BD=EH：AD=3：8，
∴DG-AG=DH+GH-AG=AH-AG+GH=2GH=BD；

（2）解：延长FE交BC延长线于K，
∵2GH=BD，BD=8，
∴GH=3，
∵EH∥CD，
∴△GEH∽△GKD，
∴，
∵CD=3x，EH=x，DH=2x，
∴GD=DH+GH=3+2x，DK=CD+CK=2x+10，
∴，
解得：x=4，
∴AG=AH-GH=2x-3=5，AD=4x=16，
∴AB==8，
∵∠AFG-∠ADB=90°，
∴在Rt△ABD中，sin∠BAD==，
在Rt△AFG中，FG=AG•sin∠FAG=5×=．
分析：（1）首先过点E作EH∥DC交AD于H，易证得△ABD∽△EGH，又由tan∠C=，可设AD=4x，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（2）首先延长FE交BC延长线于K，由BD=8，根据（1）可求得GH的长，然后由△GEH∽△GKD，根据相似三角形的对应边成比例，可得方程，解此方程即可求得AG，AD，AB的长，然后由三角函数的性质，求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．