题目内容

（2012•香坊区一模）如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，在△ABC中，BC=2AB，点B的坐标为（-4，0），点D是BC的中点，且tan∠ACB=
12

（1）求点A的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CB以5个单位/秒的速度向终点B匀速运动，过点P作PE⊥AB．垂足为E，PE交直线AC于点F，设EF的长为y（y≠O），点P的运动时间为t秒，求y与t之问的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点O．作0Q∥AC交AB于Q点，连接DQ，是否存在这样的t值，使△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在．请说明理由．
分析：（1）设OA=a，先由tan∠ACB=
1
2
，根据正切函数的定义得出OC=2a，则BC=4+2a，AB=2+a，然后在Rt△OAB中，由勾股定理得出AB2=OA2+OB2，列出关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到A点坐标；
（2）过点A作AG⊥AB，交BC于G，解Rt△GAB，得出BG=
25
4
，则CG=BC-BG=
15
4
，根据条件得出0≤t≤2且t≠
3
4
，所以分两种情况讨论：①0≤t＜
3
4
，先由△ABG∽△EBP，得出FP=6-3t-y，再由△CFP∽△CAG，得出y=6-8t；②
3
4
＜t≤2，先由△ACG∽△FCP，得出PE=5t-y，再由△BEP∽△BAG，得出y=8t-6；
（3）同（2）分两种情况进行讨论：①当0≤t＜
3
4
时，过Q作QM⊥OB于M，过F作FN⊥BC于N，若△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形，由于∠FQD≠90°，则只能∠QDF=90°．由△OBQ∽△CBA，得出BQ=2，再解Rt△BQM，得出QM=
6
5
，BM=
8
5
，则DM=BD-BM=
17
5
，由（2）知FN=4t，则CN=2FN=8t，DN=CD-CN=5-8t，根据两角对应相等的两三角形相似得出△DNF∽△QMD，由相似三角形对应边成比例列出比例式，解出t即可；②当
3
4
＜t≤2时，过Q作QM⊥OB于M，过F作FN⊥BC于N，FG⊥QM于G，若△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形，由于∠FDQ≠90°，则只能∠FQD=90°，由△FGQ∽△QMD，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，解出t即可．
解答：解：（1）设OA=a，则点A的坐标（0，a），
∵tan∠ACB=
OA
OC
=
1
2
，
∴OC=2OA=2a，
∴BC=OB+OC=4+2a，
∵BC=2AB，
∴AB=2+a．
在Rt△OAB中，∵∠AOB=90°，
∴AB2=OA2+OB2，即（a+2）2=a2+42，
解得a=3，
∴A（0，3）；

（2）过点A作AG⊥AB，交BC于G．
在Rt△GAB中，∵∠GAB=90°，
∴AG=AB•tan∠B=5×
3
4
=
15
4
，
BG=
AB
cos∠B
=
5
4
5
=
25
4
，
∴CG=BC-BG=10-
25
4
=
15
4
．
∵点P从C点出发，沿线段CB以5个单位/秒的速度向终点B匀速运动，点P的运动时间为t秒，
∴0≤5t≤10，
∴0≤t≤2．
∵P与G重合时，E、F、A三点重合，此时EF的长y=0，与已知矛盾，
∴t≠
CG
5
=
15
4
5
=
3
4
．
分两种情况讨论：
①当0≤t＜
3
4
时，如图2．
∵AG∥EP，
∴△ABG∽△EBP，
∴
AG
EP
=
BG
BP
，
15
4
y+FP
=
25
4
10-5t
，
解得FP=6-3t-y．
∵FP∥AG，
∴△CFP∽△CAG，
∴
FP
AG
=
PC
CG
，
∵AG=CG=
15
4
，
∴FP=PC，即6-3t-y=5t，
∴y=6-8t；
②当
3
4
＜t≤2时，如图3．
∵AG∥FP，
∴△ACG∽△FCP，
∴
AG
FP
=
CG
CP
，
∵AG=CG=
15
4
，
∴FP=CP，即y+PE=5t，
∴PE=5t-y．
∵PE∥AG，
∴△BEP∽△BAG，
∴
PE
AG
=
BP
BG
，
5t-y
15
4
=
10-5t
25
4
，
∴y=8t-6．
综上所述，y=
6-8t (0≤t＜
3
4
)
8t-6 (
3
4
＜t≤2)
；

（3）分两种情况讨论：
①当0≤t＜
3
4
时，过Q作QM⊥OB于M，过F作FN⊥BC于N，如图4．
若△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形，∵∠FQD＜∠AQD＜∠AQO=∠EAC＜90°，
∴∠QDF=90°．
∵OQ∥AC，
∴△OBQ∽△CBA，
∴
BQ
BA
=
BO
BC
，即
BQ
5
=
4
10
，
∴BQ=2．
在Rt△BQM中，QM=BQ•sin∠B=2×
3
5
=
6
5
，BM=BQ•cos∠B=2×
4
5
=
8
5
．
∴DM=BD-BM=5-
8
5
=
17
5
，
由（2）知FN=FP•sin∠FPN=CP•sin∠OAB=5t•
4
5
=4t，
∴CN=2FN=8t，DN=CD-CN=5-8t．
∵∠FND=∠DMQ=90°，∠FDN=∠DQM=90°-∠QDM，
∴△DNF∽△QMD，
∴
DN
QM
=
FN
DM
，
∴
5-8t
6
5
=
4t
17
5
，
解得t=
17
32
；
②当
3
4
＜t≤2时，过Q作QM⊥OB于M，过F作FN⊥BC于N，FG⊥QM于G，如图5．
若△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形，∵∠FDQ＜∠ADQ＜∠ADB＜90°，
∴∠FQD=90°．
∵GM=FN=4t，
∴GQ=GM-QM=4t-
6
5
，GF=MN=BC-BM-CN=10-
8
5
-8t=
42
5
-8t，
∵∠FGQ=∠QMD=90°，∠FQG=∠QDM=90°-∠DQM，
∴△FGQ∽△QMD，
∴
FG
QM
=
GQ
MD
，
∴
42
5
-8t
6
5
=
4t-
6
5
17
5
，
解得t=
15
16
．
综上所述，当t=
17
32
或t=
15
16
时，△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形．
点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，难度较大．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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AD=
5
4
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AD=
5
4
BD
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7
2
BD；
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67
2
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