Question

（2010•扬州二模）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．
（1）求证：△AEF≌△BEC；
（2）判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由；
（3）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求tan∠ACH的值．

Answer 1

分析：（1）①在△ABC中，由已知可得∠ABC=60°，从而推得∠BAD=∠ABC=60°．由E为AB的中点，得到AE=BE．又因为∠AEF=∠BEC，所以△AEF≌△BEC．
（2）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=

1

2

AB，BE=

1

2

AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．
（3）在Rt△ABC中，设BC=a，则AB=2BC=2a，AD=AB=2a．设AH=x，则HC=HD=AD-AH=2a-x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC²=3a²．在Rt△ACH中，由勾股定理得AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=（2a-x）²．解得x

1

4

a，即AH=

1

4

a，求得HC的值后，利用tan∠ACH=

AH

AC

求值．

解答：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等边△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEF和△BEC中

∠FAE=∠CBE AE=BE ∠AEF=∠CEB

，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．

（2）解：四边形BCFD是平行四边形，
理由是：在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=

1

2

AB，BE=

1

2

AB，
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四边形BCFD是平行四边形．

（3）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，
∴∠CAH=90°．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a，
∴AB=2BC=2a．
∴AD=AB=2a．
设AH=x，则HC=HD=AD-AH=2a-x，
在Rt△ABC中，AC²=（2a）²-a²=3a²，
AC=

3

a，
在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=（2a-x）²，
解得x=

1

4

a，
即AH=

1

4

a，
∴HC=2a-x=2a-

1

4

a=

7

4

a，
∴tan∠ACH=

AH

AC

=

1 4 a

3 a

=

3

12

．

点评：本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线的性质和判定等知识点的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．