Question

如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，∠BEC=120°，连接AE、DE，求证：AE=2DE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：证明题

分析：根据旋转的性质，可得△ABE≌△ACF，且△AEF为等边三角形，根据三角形外角的性质，可得∠EBA+∠ACE=120°-（∠EAB+∠EAC）=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得EB=DG，∠EBD=∠GCD，再根据全等三角形的判定与性质，可得EG=EF，根据等量代换，可得答案．

解答：证明：如图：

将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF．延长ED至点G，
使DG=ED，连接CG．
∴△ABE≌△ACF，且△AEF为等边三角形．           
∴AE=AF=EF，BE=CF，∠FCA=∠EBA           
∵∠EBA+∠ACE=120°-（∠EAB+∠EAC）=60°           
∴∠FCE=∠EBA+∠ACE=60°．
在△EBD和△GCD中，

ED=GD ∠EDB=∠GDC DB=CD

，
∴△EBD≌△GCD （SAS），
∴EB=DG，∠EBD=∠GCD，
∴CG=CF，∠GCE=∠GCD+∠ECD=∠EBC+∠ECB=60°=∠FCE．
在△ECG和△ECF中，

EC=EC ∠ECG=∠ECF CG=CF

，
∴△ECG≌△ECF（SAS）           
∴EG=EF，
∴EF=EG=2ED，
∴AE=2ED．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键．