Question

8．如图，在△ABC中，以AC为边在△ABC外作正△ACD，连接BD．
（1）以点A为中心，把△ADB顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（保留作图痕迹）；
（2）若∠ABC=30°，BC=4，BD=6，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由于△ACD为等边三角形，则AC=AD，∠DAC=60°，则作∠BAE=60°，再截取AE=AB，于是△ACE可由△ADB绕点A顺时针旋转60°得到；
（2）连结BE，如图，根据旋转的性质得BD=CE=6，AE=AB，∠BAE=60°，可判断△ABE为等边三角形，所以∠ABE=60°，BE=AB，加上∠ABC=30°，所以∠EBC=90°，然后利用勾股定理计算出BE．从而得到AB的长．

解答 解：（1）如图，△ACE为所作；

（2）连结BE，如图，
∵△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△AEC，
∴BD=CE=6，AE=AB，∠BAE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，BE=AB，
而∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{C{E}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等边三角形的判定与性质．