Question

如图，点P、Q分别是边长是4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A出发沿着路线A→B→C→A做匀速运动，同时，点Q从顶点B出发，沿着路线B→C→A→B做匀速运动，且点P，Q的速度都为1cm/s，设运动时间为t秒
（1）当t为何值时，PQ=BP；
（2）当0＜t＜4时，连接AQ、CP交于M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，说明理由；不变化，求出它的整数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）讨论①当0＜t＜4时，设t秒后PQ=BP，求得t的值，②当4＜t＜8时，设t秒后PQ=BP，求得t的值，③当8＜t＜12时，设t秒后PQ=BP，求得t的值；
（2）易证△ABQ≌△CAP，可得∠APC=∠AQB，即可求得∠AMP=∠B=60°，即可解题．

解答：解：（1）①当0＜t＜4时，设t秒后PQ=BP，
t秒后AP=BQ=t，BP=4-t，
∵PQ²=BP²+BQ²-2BP•BQcosB，
∴PQ²=BP²+BQ²-2BP•BQcosB=BP²，
∴t²-2（4-t）t=0，
解得t=

2 6

3

；
②当4＜t＜8时，设t秒后PQ=BP，
t秒后BP=CQ=t-4，CP=8-t，
∵PQ²=CP²+CQ²-2CP•CQcosC，
∴PQ²=CP²+CQ²-2CP•CQcosC=BP²，
∴（8-t）²-2（t-4）（8-t）=0，
解得：t=

16

3

；
③当8＜t＜12时，设t秒后PQ=BP，求得t的值；
t秒后CP=AQ=t-8，AP=12-t，
∵PQ²=AQ²+AP²-2AP•AQcosA，
BP²=BC²+CP²2BC•CPcosC，
∴AQ²+AP²-2AP•AQcosA=BC²+CP²2BC•CPcosC，
∴（12-t）²-2（t-8）（12-t）=16-2×4（t-8）
解得：t=

32

3

，
∴综上所述，t=

2 6

3

或

16

3

或

32

3

时，有PQ=BP；
（2）当0＜t＜4时，
∵在△ABQ和△CAP中，

AC=AB ∠CAB=∠ABC AP=BQ

，
∴△ABQ≌△CAP，（SAS）
∴∠APC=∠AQB，
∵∠BAQ+∠B+∠AQB=180°，∠BAQ+∠AMP+∠APC=180°，
∴∠AMP=∠B=60°，
∴∠CMQ=60°，且不变化．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABQ≌△CAP是解题的关键．