Question

6．如图，在平面直角坐标系中，直线L₁：y=-$\frac{1}{2}$x+6分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线L₂：y=$\frac{1}{2}$x交于点A．（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点且△COD的面积为12，求直线CD的表达式；
（3）在（2）的条件下，在射线CD上是否存在点P使△OCP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立两直线解析式可求得A点坐标，利用直线L₁的解析式可求得B、C的坐标；
（2）可设D（x，$\frac{1}{2}$x），由题意可求得x的值，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线CD的表达式；
（3）可设出P点坐标，利用勾股定理可表示出PC、PO和OC的长，分PC=PO、PC=OC和PO=OC三种情况，分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）联立两直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+6}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（6，3），
在y=-$\frac{1}{2}$x+6中，令y=0可求得x=12，令x=0可得y=6，
∴B（12，0），C（0，6）；
（2）∵点D在线段OA上，
∴可设D（x，$\frac{1}{2}$x）（0≤x≤6），
∵△COD的面积为12，
∴$\frac{1}{2}$×6x=12，解得x=4，
∴D（4，2），
∵C（0，6），
∴可设直线CD的表达式为y=kx+6，
把D（4，2）代入可得4=2k+6，解得k=-1，
∴直线CD的表达式为y=-x+6；
（3）∵点P在射线CD上，
∴可设P（t，-t+6）（t≥0），
∵C（0，6），O（0，0），
∴PC=$\sqrt{{t}^{2}+（-t+6-6）^{2}}$=$\sqrt{2}$t，OP=$\sqrt{{t}^{2}+（-t+6）^{2}}$=$\sqrt{2{t}^{2}-12t+36}$，且OC=6，
∵△OCP为等腰三角形，
∴有PC=PO、PC=OC和PO=OC三种情况，
①当PC=PO时，即$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2{t}^{2}-12t+36}$，解得t=3，此时P点坐标为（3，3）；
②当PC=OC时，即$\sqrt{2}$t=6，解得t=3$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（3$\sqrt{2}$，6-3$\sqrt{2}$）；
③当PO=OC时，即$\sqrt{2{t}^{2}-12t+36}$=6，解得t=0或t=6，当t=0时，P与O重合，不合题意，舍去，故t=6，此时P点坐标为（6，0）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（3，3）或（3$\sqrt{2}$，6-3$\sqrt{2}$）或（6，0）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象的交点坐标的求法，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中用P点坐标分别表示出PO和PC是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．