Question

17．如图，抛物线y=x²+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若点C为抛物线顶点，当A，B，C，D四点围成的四边形是菱形时，求点D坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b、c的值，然后令y=0即可求出抛物线与x轴的交点坐标．
（2）求出点C的坐标，

解答 解：（1）将A（0，2），B（3，2）代入y=x²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{2=9+3b+c}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴y=x²-3x+2
令y=0代入y=x²-3x+2，
∴x²-3x+2=0，
∴x=1或x=2，
∴抛物线与x轴的交点坐标（1，0），（2，0）

（2）由（1）可知：抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
∴令x=$\frac{3}{2}$代入y=x²-3x+2，
∴y=-$\frac{1}{4}$，
∴C（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
∴AB=3，AC=$\frac{3\sqrt{13}}{4}$，
∴AB≠AC，
∴当D与C关于AB对称时，
此时四边形ACBD是菱形，
∴由对称性可知：D（$\frac{3}{2}$，$\frac{17}{4}$）

点评 本题考查二次函数的综合问题，设计待定系数法求解析式，菱形的性质，一元二次方程的解法等知识，题目较为综合．