Question

如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为

 

．

Answer 1

分析：分类讨论：当BD=BQ，由AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，利用三角形的中位线的性质得到DM=AN=

1

2

AC=

3

2

，BD=

1

2

AB=

5

2

，DN=BM=

1

2

BC=2，可得到BQ与QM的长，然后利用等腰三角形的性质得到∠3=90°-

1

2

∠B，易得∠2=

1

2

∠B，又Rt△ABC≌Rt△DEF，利用三角形全等的性质得到∠EDF=∠A=90°-∠B，则∠1=

1

2

∠B，即∠1=∠2，则△CPD∽△CDA，然后根据三角形相似的性质得到PN：QM=DN：DM，代值计算可得CP，从而求得AP；
当DB=DQ，则Q点在C点，易证△CPD∽△CDA，然后根据三角形相似的相似比即可得到CP，从而求得AP；
当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，得到∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，易证Rt△APD∽Rt△ABC，然后根据三角形相似的相似比即可求得AP．

解答：解：（1）当BD=BQ，
∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，
则AB=5，
过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，
∵D为AB的中点，
∴DM=AN=

1

2

AC=

3

2

，BD=

1

2

AB=

5

2

，DN=BM=

1

2

BC=2，
∴BQ=BD=

5

2

，QM=

5

2

-2=

1

2

，
∴∠3=90°-

1

2

∠B，
而∠2+∠3=90°，
∴∠2=

1

2

∠B，
又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠EDF=∠A=90°-∠B，
而∠1+∠EDF+∠2=90°，
∴∠1=

1

2

∠B，即∠1=∠2，
∴△DQM∽△DPN，
∴PN：QM=DN：DM，即PN：

1

2

=2：

3

2

，
∴PN=

2

3

，
∴AP=

3

2

+

2

3

=

13

6

；

（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，
DA=DC=

5

2

，
而Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴△CPD∽△CDA，
∴CP：CD=CD：CA，即CP：

5

2

=

5

2

：3，
∴CP=

25

12

，
∴AP=3-

25

12

=

11

12

；

（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，
而∠EDF=∠A，
∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，
∴Rt△APD∽Rt△ABC，
∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=

5

2

：3，
∴AP=

25

6

．
故答案为

13

6

或

11

12

或

25

6

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质：两腰相等，两底角相等．也考查了三角形全等的性质和三角形相似的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论思想的运用．