Question

14．已知△ABC，
（1）如图（1），若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）如图（2），若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°-∠A；
（3）如图（3），若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
上述说法正确的个数是（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 用角平分线的性质和三角形内角和定理证明，证明时可运用反例．

解答 解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
则∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB
则∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
故成立；
（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°时，结论不成立；
（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，
则∠PBC=$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠PBC+∠BCP=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠PBC+∠BCP=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
故成立．
∴说法正确的个数是2个．
故选B．

点评 此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．