Question

9．在△ABC中，AD平分∠BAC，且AB=AD，过点C作CM⊥AD交AD延长线于M．
（1）若AC=BC，求∠B的度数并探究AB+AC与AM的数量关系，并证明；
（2）若AC≠BC，则（1）中AB+AC与AM的数量关系还会成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ADB∠BAC，由AD平分∠BAC，于是得到∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}∠$ADC，求得∠DAC=∠ACD，根据三角形的内角和求得∠B，延长AM至N，使DM=MN，连接CN，求得CD=CN，得出∠ANC=∠ACN，进而求得AC=AN，所以AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM，即可求得结论；
（2）延长AM至N，使DM=MN，连接CN，求得CD=CN，得出∠ANC=∠ACN，进而求得AC=AN，所以AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM，即可求得结论．

解答 解：（1）∵AB=BC，
∴∠B=∠BAC，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}∠$ADC，
∵∠ADC=∠DAC+∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴∠B=∠BAC=2∠ACB，
∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠B=∠ACB=72°，
如图1，延长AM至N，使DM=MN，连接CN，
∵CM⊥AD，DM=MN，
∴CN=CD，
∴∠CDN=∠DNC，
∴∠DNC=∠ADB，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB，
∴∠B=∠ANC，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=∠ACN，
∴∠ANC=∠ACN，
∴AN=AC，
∴AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM，
∴AM=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

（2）AM=$\frac{1}{2}$（AB+AC），
理由：如图2，延长AM至N，使DM=MN，连接CN，
∵CM⊥AD，DM=MN，
∴CN=CD，
∴∠CDN=∠DNC，
∴∠DNC=∠ADB，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB，
∴∠B=∠ANC，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=∠ACN，
∴∠ANC=∠ACN，
∴AN=AC，
∴AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM，
∴AM=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

点评 本题考查了线段的垂直平方线的性质，等腰三角形的判定和性质，角的平分线的性质；此题利用辅助线构造等腰三角形，得出AN=AC是关键．